Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro II - Capítulo 07»

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[Probar] Sean los puntos L y M que representan los polos del Ecuador, y dibujar a través de ellos los arcos del gran círculo LEM, L, LK, ZM y MH. Y luego:
 
[[File:Almagesto_Introducción_FIG_04.png|center|379px|Fig. 4]]
Arco ZH = arco K,
<center>Fig. 4</center>
y Arco LK = arco MH (*)
<div class="prose">
y Arco EK = arco EH (*)
Arco ZH = arco K,
y Arco LK = arco MH (*)
y Arco EK = arco EH (*)
 
(*) Porque los paralelos a través de K y H son equidistantes del Ecuador sobre los lados opuestos <ref name="Referencia 071"></ref>,
<div class="prose">
 
[∆ esférico] LK ≡ [∆ esférico] MHZ
y [∆ esférico] LEK ≡ [∆ esférico] MEH.
en consecuencia ^ KLE = ^ HME,
y ^ KL = ^ HMZ.
 
Por lo tanto, por sustracción,
<div class="prose">
 
^ EL = ^ EMZ.
en consecuencia E = EZ, bases [de ∆ congruentes EL, EMZ]
 
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Nuevamente, probaremos que si dos arcos de la eclíptica son iguales y son equidistantes desde el mismo solsticio, la suma de los dos arcos del Ecuador que salen con él [solsticio] es igual a la suma de los tiempos de salida [de los mismos dos arcos de la eclíptica] en la esfera recta.
 
[Ver Fig. 2.5.] Sea ABGD un meridiano, y sea BED un semicírculo representando el horizonte, y el Ecuador el semicírculo AEG. Dibujar dos arcos de la eclíptica, igual y equidistante desde el solsticio de invierno, ZH (donde Z es tomado como el equinoccio de otoño) y H (donde  es tomado como el equinoccio de primavera).
 
[[File:Almagesto_Introducción_FIG_05.png|center|379px|Fig. 5]]
Fig. 2.4.
<center>Fig. 5</center>
 
[Ver Fig. 2.5.] Sea ABGD un meridiano, y sea BED un semicírculo representando el horizonte, y el Ecuador el semicírculo AEG. Dibujar dos arcos de la eclíptica, igual y equidistante desde el solsticio de invierno, ZH (donde Z es tomado como el equinoccio de otoño) y H (donde  es tomado como el equinoccio de primavera).
 
Por lo tanto éste es el punto sobre el horizonte que es común a la salida de ambos, y los arcos ZH y H están ambos limitados por el mismo círculo paralelo al Ecuador. Por lo tanto, obviamente, el arco E sale con el arco H, y el arco EZ con el arco ZH. Inmediatamente es obvio de que el arco EZ en su totalidad es igual a la suma de los tiempos de salida del arco ZH y del arco H en la esfera recta.
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[Según] lo de arriba, hemos demostrado que si podemos calcular los tiempos individuales de salida en alguna latitud justamente para un simple cuadrante, simultáneamente tendremos por bien resuelto, el problema de los tres cuadrantes restantes.
Fig. 2.5.
 
Siendo este el caso, como paradigma permitámonos nuevamente tomar el paralelo a través de Rodas, con el día más largo de 14 ½ horas equinocciales, y [siendo] la elevación del polo norte desde el horizonte de 36º.
 
[Ver Fig. 2.6] Sea ABGD un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZH el semicírculo de la eclíptica, posicionado entonces H representa el equinoccio de primavera. Tomar K como el polo norte del Ecuador, y dibujar a través de K y L, que es la intersección de la eclíptica y [con] el horizonte, el cuadrante del gran círculo KLM.
 
[[File:Almagesto_Introducción_FIG_06.png|center|379px|Fig. 6]]
<center>Fig. 6</center>
 
Dado el arco HL, sea el problema, hallar el arco del Ecuador que sale con él, [siendo] este el arco EH.
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Luego, en el diagrama, los dos arcos de grandes círculos ED y KM son dibujados para intersecarse con los dos arcos de grandes círculos EG y GK, intersecándose el uno con el otro en L,
 
 
Fig. 2.6.
 
Cuerda arco 2 * KD / cuerda arco 2 * DG = (cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * LM) * (Cuerda arco 2 * ME / cuerda arco 2 * EG). [M.T.II]
 
<div class="prose">
 
pero Arco 2 * KD = 72º,
entonces Cuerda arco 2 * KD = 70;32,4p <ref name="Referencia 072"></ref>;
Y Arco 2 * GD = 108º,
entonces Cuerda arco 2 * GD = 97;4,56p.
Y Arco 2 * KL = 156;40,1º <ref name="Referencia 073"></ref>,
entonces Cuerda arco 2 * KL = 117;31,15p;
Arco 2 * LM = 23;19,59º,
entonces Cuerda arco 2 * LM = 24;15,57p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG = (70;32,4 / 97;4,56) / (117;31,15 / 24;15,57)
= 18;0,5 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 18;0,5p.
en consecuencia Arco 2 * ME ≈ 17;16º
Y Arco ME = 8;38º
 
Y en su totalidad el arco HM sale en su totalidad con el arco HL en la esfera recta, [siendo] ésta de 27;50º, tal como fue demostrado arriba. [pagina ].
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(Segundo), seguidamente, sea HL el arco que comprende los 60º de los dos signos de Aries y de Taurus. Luego, de nuestras consideraciones, las otras dos cantidades serán restantes desde el mismo,
<div class="prose">
 
pero Arco 2 * KL = 138;59,42º,
entonces Cuerda arco 2 * KL = 112;23,56p,
y Arco 2 * LM = 41;0,18º <ref name="Referencia 074"></ref>,
entonces Cuerda arco 2 * LM = 42;1,48p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME / Cuerda arco 2 * EG = (70;32,4 / 97;4,56) / (112;23,56 / 42;1,28),
= 32;36,4 / 120.
Y Cuerda arco 2 * EG = 120p.
en consecuencia Cuerda arco 2 * ME = 32;36,4p.
en consecuencia Arco 2 * ME ≈ 31;32º,
y Arco ME ≈ 15;46º.
 
Pero el arco MH <ref name="Referencia 075"></ref> en su totalidad fue previamente demostrado de 57;44º [pagina ].
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También es obvio que podemos calcular los tiempos de salida para los arcos más pequeños de la eclíptica [respecto de los signos en su totalidad] exactamente por el mismo método. Pero también, tal como sigue, podemos calcularlos por otro procedimiento más fácil y práctico.
[Ver Fig. 2.7] Primeramente sea ABGD representando un meridiano, BED el semicírculo del horizonte, AEG el semicírculo del Ecuador, y ZEH el semicírculo de la eclíptica, con la intersección E tomada como el equinoccio de primavera. Cortando un arco arbitrario Esobre [la eclíptica], y dibujar el segmento K del paralelo al Ecuador a través de . Tomando L como el polo [sur] del Ecuador, dibujarlo a través de los cuadrantes de los grandes círculos LM, LKN y LE.
 
[[File:Almagesto_Introducción_FIG_07.png|center|379px|Fig. 7]]
<center>Fig. 7</center>
Inmediatamente es obvio, entonces, que el segmento E de la eclíptica sale con el arco EM del Ecuador en la esfera recta, y con NM en la esfera oblicua, y el arco K del círculo paralelo, con el cual sale el segmento E [en la esfera oblicua], es similar al arco NM del Ecuador y similar a los arcos de los círculos paralelos saliendo en los mismos instantes en todas partes. Por lo tanto, el arco EN es la diferencia entre los tiempos de salida del segmento E en la esfera oblicua y en la esfera recta. Por lo tanto, hemos demostrado ello para los arcos de la eclíptica limitados por el punto E y el círculo paralelo a través de K, en cada caso, si es dibujado el arco del gran círculo correspondiente a LKN, el segmento EN comprenderá la diferencia entre aquel tiempo de salida del arco en la esfera recta y en la esfera oblicua <ref name="Referencia 076"></ref>.
Esto fue necesario para probar.
 
Habiendo establecido esto como tema preliminar, dibujemos [ver Fig. 2.8] un diagrama conteniendo sólo el meridiano y los semicírculos del horizonte [BED] y del Ecuador [AEG]; [y] dibujemos a través de Z, el polo sur del Ecuador, los dos cuadrantes de grandes círculos ZH y ZKL. Tomemos H como intersección del horizonte con el círculo paralelo a través del solsticio de invierno, y K como la intersección [del horizonte] con el círculo paralelo a través, ej., del comienzo de Pisces, o algún otro punto dado en el cuadrante [desde el comienzo de Capricornus hasta el fin de Pisces].
 
[[File:Almagesto_Introducción_FIG_08.png|center|379px|Fig. 8]]
<center>Fig. 8</center>
 
Luego, nuevamente, los arcos de grandes círculos ZKL y EKH son dibujados para intersecarse con los arcos de grandes círculos Z y E, y se intersecan en K cada uno con el otro. Por lo tanto
 
Cuerda arco 2 * H / Cuerda arco 2 * ZH = (Cuerda arco 2 * E / cuerda arco 2 * EL) * (Cuerda arco 2 * KL / cuerda arco 2 * KZ) [M.T.II]
 
pero en cada latitud está dado el arco 2 * H y es el mismo, y éste es el arco entre los solsticios. Por lo tanto también es dado su suplemento, el arco 2 * HZ. Similarmente, para el mismo arco de la eclíptica, el arco 2 * LK es el mismo en todas las latitudes, y está dado desde la Tabla de Inclinaciones [I 15]; y de allí es dado nuevamente su suplemento, el arco 2 * KZ.
Fig. 2.7.
 
Por lo tanto, por la división [de los miembros de arriba], (Cuerda arco 2 * QE / Cuerda arco 2 * EL) es hallado el mismo para las mismas latitudes (para el mismo arco de aquel cuadrante [de la eclíptica]).
 
Y siendo esto así, tomamos los diferentes valores del arco KL cada 10º [de la eclíptica] a través del cuadrante desde el equinoccio de primavera hasta el solsticio de invierno (la subdivisión menor al tamaño de los arcos [10º], será suficiente para [nuestros] propósitos prácticos).

Luego en cada caso
 
<div class="prose">
Arco 2 * QH = 47;42,40º,
y Cuerda arcoArco 2 * QH = 4847;3142,55p40º,
Arcoy Cuerda arco 2 * HZQH = 13248;1731,20º55p,
y Cuerda arcoArco 2 * HZ = 109132;4417,20º,53p.
y Cuerda arco 2 * HZ = 109;44,53p.
 
Luego, para 10º [de la eclíptica] desde el equinoccio hasta el solsticio de invierno,
 
<div class="prose">
Arco 2 * KL = 8;3,16º,
y Cuerda arcoArco 2 * KL = 8;253,39p16º,
Arcoy Cuerda arco 2 * KZKL = 1718;5625,44º39p,
Arco 2 * QHKZ = 47171;4256,4044º,
y
y Cuerda arco 2 * KZ = 119;42,14p.
Fig. 2.8.
 
Para el arco 20º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * KL = 15;54,6º,
Cuerda arcoArco 2 * KL = 1615;3554,56p,
ArcoCuerda arco 2 * KZKL = 16416;535,54º56p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 118164;505,54º,47p.
Cuerda arco 2 * EQKZ = 37118;30º50,47p.
 
Para el arco 30º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * LK = 23;19,58º,
Cuerda arcoArco 2 * LK = 2423;1519,56p58º,
ArcoCuerda arco 2 * KZLK = 15624;4015,56p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 117156;3140,2º,15p.
Cuerda arco 2 * KZ = 117;31,15p.
 
Para el arco 40º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * LK = 30;8,8º,
Cuerda arcoArco 2 * LK = 3130;118,43p,
ArcoCuerda arco 2 * KZLK = 14931;5111,52º43p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 115149;51,52º,19p.
Cuerda arco 2 * KZ = 115;52,19p.
 
Para el arco 50º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * LK = 36;5,46º,
Cuerda arcoArco 2 * LK = 3736;105,39p46º,
ArcoCuerda arco 2 * KZLK = 14337;5410,14º39p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 114143;554,14º,44p.
Cuerda arco 2 * KZ = 114;5,44p.
 
Para el arco 60º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * LK = 23;19,58º,
Cuerda arcoArco 2 * LK = 2423;1519,56p58º,
ArcoCuerda arco 2 * KZLK = 15624;4015,56p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 117156;3140,2º,15p.
Cuerda arco 2 * KZ = 117;31,15p.
 
Para el arco 70º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * LK = 44;40,22º,
Cuerda arcoArco 2 * LK = 4544;3640,18p22º,
ArcoCuerda arco 2 * KZLK = 13545;1936,38º18p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 110135;5919,38º,47p.
Cuerda arco 2 * KZ = 110;59,47p.
 
Para el arco 80º desde el equinoccio
 
<div class="prose">
Arco 2 * LK = 46;56,32º,
Cuerda arcoArco 2 * LK = 4746;4756,40p32º,
ArcoCuerda arco 2 * KZLK = 13347;347,28º40p,
Cuerda arcoArco 2 * KZ = 110133;43,28º,16p.
Cuerda arco 2 * KZ = 110;4,16p.
 
[Según] lo de arriba hallamos que
<div class="prose">
si dividimos la relación (Cuerda arco 2 H / Cuerda arco 2 * HZ),
nombrada (48;31,55 / 109;44,53),
Línea 216 ⟶ 226:
y para el arco 80º este es 60 / 58;55.
 
Inmediatamente es obvio que para cada latitud tendremos E como arco dado el arco 2 * , y éste es, en grados, la diferencia en grados del tiempo del día equinoccial con el día más corto.
 
<div class="prose">
Por lo tanto, de la cuerda arco 2 * E
y la relación (Cuerda arco 2 * E / cuerda arco 2 * EL),
Línea 228 ⟶ 239:
Aquí
 
<div class="prose">
arco 2 * EQ = 37;30º,
arco 2 * EQ = 37;30º,
entonces Cuerda arco 2 * EQ ≈ 38;34p.
Luego 60 / 38;34 = 9;33 / 6;8
= 18;57 / 12;11
= 28;1 / 18;0
= 36;33 / 23;29 <ref name="Referencia 078"></ref>
= 44;12 / 28;25
= 50;44 / 32;37
= 55;45 / 35;52 <ref name="Referencia 079"></ref>
= 58;55 / 37;52,
 
Y la cuerda arco 2 * EL es igual a la cantidad de arriba [6;8p, etc.] en cada uno de los intervalos de a 10º arriba mencionados, mitad del arco [que] él subtiende, nombrado arco EL, asumirá los valores siguientes:
 
 
para los primeros 10º 2;56º
hasta el fin del segundo 5;50º
hasta el fin del tercero 8segundo 5;3850º
hasta el fin del segundo 5tercero 8;5038º
hasta el fin del cuarto 11;17º
hasta el fin del quinto 13;42º
hasta el fin del sexto 15;46º
hasta el fin del séptimo 17;24º
hasta el fin del octavo 18;24º
hasta el fin del noveno, obviamente, 18;45º.
 
Y los correspondientes tiempos de salida en la esfera recta, son los siguientes: