Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro II - Capítulo 05»
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==[[Almagesto|'''Volver a los Contenidos''']]==
=='''Como puede uno derivar las longitudes de las sombras de un gnomon en los mediodías de los equinoccios y de los solsticios según las cantidades arriba mencionadas'''==
(17)
Los valores requeridos de la sombra en un gnomon (18) pueden ser hallados simplemente cada vez que a uno le es dado el arco entre los solsticios y el arco entre el horizonte y el polo; estos pueden ser demostrados tal como sigue.
[Ver la Fig. 2.3] Sea el círculo meridiano ABGD, con centro en E. Sea A tomado como cenit, y dibujar el diámetro AEG. Para ello dibujar GKZN en ángulos rectos en el plano del meridiano: claramente éste será paralelo a la intersección del horizonte y con el meridiano. Ahora, la Tierra en su totalidad, para los sentidos, tiene el tamaño de un punto y centro en la esfera del Sol, entonces el centro e puede ser considerado como el puntero del gnomon, entonces imaginemos que GE sea el gnomon, y la línea GKZN sea la línea sobre la que la sombra del puntero cae en al mediodía. Dibujar a través de E el rayo [de sombra] equinoccial del mediodía y los [dos] rayos [de sombra] del los solsticios al mediodía: sea BEDZ que representa el rayo [de sombra] equinoccial, HEK el rayo [de sombra] del solsticio del verano, y LEMN el rayo [de sombra] del solsticio de invierno. Entonces GK será la sombra en el solsticio de verano, GZ la sombra del equinoccio, y GN la sombra en el solsticio de invierno.
Luego, el arco GD, que es igual a la elevación del polo norte desde el horizonte, siendo de 36º (donde el meridiano ABG es de 360º) en la latitud en cuestión, y ambos arcos D y arco DM son de 23;51,20º, por sustracción el arco GQ = 12;8,40º, y por adición el arco GM = 59;51,20º.
Por lo tanto los ángulos correspondientes
^ KEG = 12;8,40º
^ SEG = 36º
^ NEG = 59;51,20º
Donde 4 ángulos rectos = 360º
^ KEG = 24;17,20ºº
^ ZEG = 72ºº
^ NEG = 119;42,40ºº
Fig. 2.3.
Donde 2 ángulos rectos = 360ºº
Por lo tanto los círculos por sobre los triángulos rectángulos KEG, ZEG, NEG,
Arco GK = 24;17,20º
y Arco GE = 155;42,40º (suplemento),
Arco GZ = 72º
y Arco GE = 108º, similarmente [como suplemento],
Arco GN = 119;42,40º
y Arco GE = 60;17,20º (nuevamente como suplemento).
por lo tanto donde
Cuerda arco GK = 25;14,43p,
Cuerda arco GE = 117;18,51p,
y donde Cuerda arco GZ = 70;32,4p (19),
Cuerda arco GE = 97;4,56p,
y donde Cuerda arco GN = 103;46,16p,
Cuerda arco GE = 60;15,42p.
Por lo tanto, GE en el gnomon tiene 60^p, en las mismas unidades, [siendo] la sombra [del solsticio] de verano,
GK ≈ 12;55p,
la sombra del equinoccio,
GZ ≈ 43;36p,
y la sombra [del solsticio] de invierno,
GN ≈ 103;20p.
Inmediatamente es claro que es posible el proceso contrario. Este es, provisto solamente sólo si es dado alguno de los dos de los tres tamaños de las sombras del gnomon GE, son determinados la elevación del polo y de los arcos entre los solsticios. Si son dados algunos de los dos ángulos en E, entonces son iguales el tercero y los arcos D y DM. De cualquier modo, tan buena como la precisión de la observación es concernida, las cantidades formales [de la elevación del polo y 2 exactamente pueden ser determinadas por el [mismo] camino como [ya] lo explicamos; pero las longitudes de las sombras del gnomo en cuestión no pueden ser determinadas con igual precisión, y el momento de los equinoccios es, propiamente dicho, algo indeterminado, y la sombra del puntero en el solsticio de invierno es difícil de discernir.
Dada nuevamente la misma cantidad [por ej. la longitud del día mas largo], sea [nuestro] próximo problema, encontrar la elevación del polo siendo el arco BZ del meridiano [en la Fig. 2.1]. Ahora, en la misma figura,
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{| class="wikitable"
|-
|align="center" | Cuerda arco 2 * EΘ / Cuerda arco 2 * ΘA = (Cuerda arco 2 * EH / Cuerda arco 2 HB) * ( Cuerda arco 2 * BZ / Cuerda arco 2 * ZA). [M.T.II.].
|-
|}
</center>
<div class="prose">
pero Arco 2 * EΘ = 37;30º,<br />
entonces Cuerda arco 2 * EΘ = 38;34,22p,<br />
y Arcos 2 * ΘA = 142;30º,<br />
entonces Cuerda arco 2 * ΘA = 113;37,54p.<br />
además Arco 2 * EH = 60º,<br />
entonces Cuerda arco 2 * EH = 60p,<br />
y Arco 2 * HB = 120º,<br />
entonces Cuerda arco 2 * HB = 103;55,23p.
</div>
en consecuencia
<center>
{| class="wikitable"
|-
|align="center" | Cuerda arco 2 * BZ / Cuerda arco 2 * ZA = (38;34,22 / 113;37,54) / (60 / 103;55,23) ≈ 70;33 / 120.
|-
|}
</center>
<div class="prose">
y nuevamente Cuerda arco 2 * ZA = 120p,<br />
entonces Cuerda arco 2 * BZ = 70;33p.<br />
en consecuencia Arco 2 * BZ = 72;1º<br />
y Arco BZ ≈ 36º.
</div>
Para hacerlo [en forma] contraria, sea BZ nuevamente en la misma figura [Fig. 2.1], sea dado el arco de la elevación del polo, siendo observado de 36º. Sea el problema hallar la diferencia entre el día más corto o el más largo con el día equinoccial, ej. arco 2 * EΘ.
Ahora, desde las mismas consideraciones,
<center>
{| class="wikitable"
|-
|align="center" | Cuerda arco 2 * ZB / Cuerda arco 2 * BA = (Cuerda arco 2 * ZH / Cuerda arco 2 HΘ) * (Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA). [M.T.II].
|-
|}
</center>
<div class="prose">
pero Arco 2 * ZB = 72º<br />
entonces Cuerda arco 2 * ZB = 70;32,3p,<br />
y Arcos 2 * BA = 108º,<br />
entonces Cuerda arco 2 * BA = 97;4,56p.<br />
además Arco 2 * ZH = 132;17,20º,
entonces Cuerda arco 2 * ZH = 109;44,53p,<br />
y Arco 2 * HΘ = 47;42,40º,<br />
entonces Cuerda arco 2 * HΘ = 48;31,55p.
</div>
en consecuencia
<center>
{| class="wikitable"
|-
|align="center" | Cuerda arco 2 * ΘE / Cuerda arco 2 * EA = (70;32,3 / 97;4,56) / (109;44,53 / 48;31,55)
|-
|}
</center>
<div class="prose">
= 31;11,23 / 97;4,56<br />
≈ 70;33 / 120.<br />
pero Cuerda arco 2 * EA = 120p,<br />
en consecuencia Cuerda arco 2 * EΘ = 38;34p.<br />
en consecuencia Cuerda arco 2 * EΘ ≈ 37;30º,<br />
o 2 ½ horas equinocciales <ref name="Referencia 012"></ref>.
</div>
Lo que se ha requerido para examinar.
Del mismo modo, el arco EH del horizonte puede ser determinado.
Para
<center>
{| class="wikitable"
|-
|align="center" |Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB = (Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda arco 2 * ΘH) * (Cuerda arco 2 * HE / Cuerda arco 2 * EB), [M.T.I].
|-
|}
</center>
<div class="prose">
y (Cuerda arco 2 * ZA / Cuerda arco 2 * AB) es un tamaño dado,<br />
y entonces (Cuerda arco 2 * ZΘ / Cuerda 2 * ΘH),
</div>
Luego, ya que el arco EB es dado, entonces es [igual a] la cantidad del arco EH.
Es obvio que si suponemos que H sea, en cambio del lugar del solsticio de invierno, algún otro grado de la eclíptica, por un razonamiento similar ambos arcos EΘ y EH serán dados, dado que ya tenemos listo el arco del meridiano intersecado entre la eclíptica y el Ecuador para cada grado de la eclíptica en la “Tabla de Inclinaciones”: este arco <ref name="Referencia 013"></ref> corresponde al HΘ [en Fig. 2.1.].
Sigue inmediatamente que aquellos puntos de la eclíptica cortada por el mismo círculo paralelo, ej. los puntos equidistantes desde el mismo solsticio, cortan arcos del horizonte [entre la eclíptica y el Ecuador] siendo iguales y sobre el mismo lado del Ecuador. También ellos hacen [que] la longitud del día [sea] igual a la de aquel día [en el punto correspondiente], y la longitud de la noche sea igual a la de aquella [correspondiente] noche.
Igualmente sigue que los puntos sobre [la eclíptica] cortan círculos paralelos por igual, esto es, puntos equidistantes desde el mismo equinoccio, arcos del horizonte cortados siendo iguales, pero sobre lados opuestos del Ecuador. Estos hacen también que la longitud del día sea igual a la longitud de la noche en el [correspondiente] punto opuesto, y la longitud de la noche sea igual a aquella del [correspondiente] día.
En la figura ya dibujada [ver Fig. 2.2], pusimos a K como el punto donde el círculo paralelo es igual al paralelo a través de H cortando el semicírculo BED del horizonte; dibujamos los arcos HL y KM de los círculos paralelos: estos serán, claramente, iguales y opuestos. Dibujamos a través de K y del polo norte el cuadrante [del gran círculo] NKX. Luego
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{| class="wikitable"
|-
|align="center" |Arco ΘA = arco XG (arco ΘA // arco LH, y arco XG // arco MK).
|-
|}
</center>
en consecuencia
<center>
{| class="wikitable"
|-
|align="center" |Arco EΘ = arco EX (complementos [del arco ΘA y arco XG]).
|-
|}
</center>
Luego, en los dos triángulos esféricos similares <ref name="Referencia 014"></ref> EHΘ y EKX tenemos dos pares de lados iguales, EΘ hacia EX, y HΘ hacia KX <ref name="Referencia 015"></ref>, y siendo ángulos rectos los [ángulos] Θ y X, entonces la base EH es igual a la base KE.
[[File:Almagesto_Libro_II_FIG_02.png|center|379px|Fig. 2.2]]
<center>Fig. 2.2</center>
<center>
{| class="wikitable"
|-
|align="center" | [[Almagesto:_Libro_II_-_Capítulo_02|'''Capítulo Anterior''']] || align="center" | [[Almagesto:_Libro_II_-_Capítulo_04|'''Capítulo Siguiente''']]
|-
|}
</center>
=='''Notas de referencia'''==
{{listaref|refs=
<ref name="Referencia 012">Para conseguir este hermoso resultado, ha habido un redondeo selectivo en diferentes etapas de este cálculo. Un cálculo preciso del arco 2 * E<span style="font-family: Symbol"></span> podría dar (al minuto más cercano) 37;29º.</ref>
<ref name="Referencia 013">Leer <span style="font-family: Symbol"></span> (en el manuscrito D) para <span style="font-family: Symbol"></span> en H95,18, y <span style="font-family: Symbol"></span> (en los manuscritos D y L, adoptada por Manitius), para <span style="font-family: Symbol"></span> en H95,22. </ref>
<ref name="Referencia 014">La palabra que Ptolomeo utiliza para el “triángulo esférico”, <span style="font-family: Symbol"></span>, estuvo de acuerdo con Pappus “Synagoge VI 2”, Hultsch p. 476, 16-7, utilizado [previamente] por Menelaus.</ref>
<ref name="Referencia 015">El arco HΘ = arco KX dado que en ellos son las declinaciones de los puntos equidistantes desde un equinoccio.</ref>
}}
</div>
[[Categoría:Almagesto]]
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