Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro III - Capítulo 06»

EnCon ordenel fin de permitirle a uno determinar '''el Movimiento Anomalístico''' sobre algunacualquiera de las subdivisiones [del círculo], demostraremos, nuevamente por ambas hipótesis demostraremos nuevamente, como podemos calcular las otras [subdivisiones restantes], dado uno de los arcos en cuestión, podemos calcular los otros.

[Ver Fig. 3.12.] '''Primero''', sea ABG el círculo con centro en D concéntrico a la [[w:es:Eclíptica|'''Eclíptica''']], con centro en D, la [[Almagesto:_Sistema_Ptolemaico_o_Sistema_Geocéntrico|'''Excéntrica''']] EZH con centro en Θ, y sea EAΘDH el diámetro a través de ambos centros y delel Apogeoapogeo E. Cortar el arco EZ, y unir ZD, ZΘ. Primero, sea dado el arco EZ, por ej. de 30º.

Prolongar ZΘ y eliminar DK, la perpendicular a él ([ZΘ]) desde D.<br />

Arcoarco DK = 60°<br />

y el arco KΘ = 120° (su suplementario).<br />

Arcoarco DK = 60p donde la hipotenusa DΘ = 120p.<br />

Por lo tanto, donde '''DΘ = 2;30p y el radio ZΘ = 60p''',<br />

Por lo tanto, por adición [de ΘK al radio ZΘ], KΘZ = 62;10p.

Ahora dado que DK² + KΘZ² = 62;10p.ZD²,<br />

y, en el círculo dondealrededor eldel triángulo rectángulo ZDK,

el Arcoarco DK = 2;18º.<br />

enpor lo tanto consecuencia ^ DZK = 1;9º donde 4 ángulos rectos = 360º.

EstoEste [1;9º] será la cantidad de la ecuación de la anomalía en esa posición.

Por lo tanto, por sustracción, el ^ ADB es igual a 28;51º (que es igual al arco AB de la Eclípticaeclíptica) es igual a 28;51º .

Además; si es dado algunocualquiera de los otros ángulos [relevantes, en cambio del ^ EΘZ], los ángulos restantes serán dados de inmediato, como es evidente,inmediatamente obvio si, en la misma figura [ver Fig. 3.13] eliminamos la perpendicular ΘL desde Θ hasta ZD.

SupongamosPorque supongamos primero que es dado el arco AB de la Eclípticaeclíptica, por ej. el ^ ΘDL. Entonces la razónproporción DΘ / ΘL será dada <ref name="Referencia 050"></ref>. Y yadado que también es dada [la reazónproporción] DΘ / ΘZ, lo será dada la ΘZ / ΘL <ref name="Referencia 051"></ref>. Por lo tanto el ^ ΘZL, la '''Ecuación de la Anomalía''', será dada <ref name="Referencia 052"></ref>, y también lo será el ^ EΘZ, por ej. el arco EZ de la Excéntricaexcéntrica.

O supongamos, en ('''Segundosegundo''') o supongamoslugar, que es dada la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, por ej. el ^ ΘZD: tomaremos, entonces, los mismos resultados en orden inverso. Desde el ^ ΘZD será dada la razónproporción ΘZ / ΘL, y la [razónproporción] ΘZ / ΘD fuese determinadada aldesde el principio. En consecuencia DΘ / ΘL será dada, y por lo tanto el ^ ΘDL, por ej. del arco AB de la Eclípticaeclíptica, y [por ende] el ^ EQZEΘZ, por ej. del arco EZ de la Excéntricaexcéntrica.

Seguidamente [ver fig. 3.14] sea ABG el círculo ABGconcéntrico con el eclíptica, con centro en D y diámetro ADG concéntrico con la Eclíptica, y sea el Epicicloepiciclo EZHΘ con centro en A (en la misma razónproporción [al círculo ABG como la '''Excentricidad'''excentricidad de la Excéntricaexcéntrica]). Cortar el arco EZ y unir ZBD y ZA. Nuevamente sea el arco EZ tomado por la misma cantidad de 30º. Eliminar la perpendicular ZK desde Z hasta AE.

Dado que el Arcoarco EZ = 30º,<br />

Por lo tanto, en el círculo alrededor del triángulo rectángulo AZK [inscripto] ,

Arcoarco ZK = 60º<br />

y Arcoarco AK = 120º (su suplementario).

En consecuencia, las cuerdas correspondientes

Yy KA = 103;55p donde el diámetro AZ = 120p.<br />

Y dado que ZK ^2² + KD ^2² = ZBD ^2²,<br />

Arcoarco ZK = 2;18º.<br />

enEn consecuencia ^ ZDK = 2;18ºº donde 4 ángulos rectos = 360ºº<br />

enpor lo tanto consecuencia ^ ZDK = 1;9º donde 2 ángulos rectos = 360º.

Nuevamente, éstaEsta es, nuevamente, la cantidad de la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, que está representada por el arco AB.

Si aquíAquí también, si algúncualquier otro ángulo es dado [en cambio del ^ EAZ], los ángulos restantes serán dados, [como puede ser visto] en la misma figura [ver Fig. 3.15] si la perpendicular AL es eliminada desde A hasta DZ.

PeroPorque si, tomamoscomo antes, '''primero''', como antes,tomamos el arco del movimiento aparente sobre la Eclípticaeclíptica, por ej. dado el ^ AZD, desde éste será dada la rezónproporción ZA / AL. Y ya que [la razónproporción] ZA / AD fue dada aldesde el principio, lo será [también] DA / AL. Por lo tanto el ^ ADB será dado, por ej. el arco AB, arco de la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, y también lo será el ^ EAZ, por ej. el arco EZ del Epicicloepiciclo.

O si, '''Segundo''', si tomamos la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, por ej. dado el ^ ADB, entonces, por el mismo camino pero en orden inverso, desde éste [ángulo] será dada [la razónproporción] AD / AL; y ya que DA / AZ fue determinadadada aldesde el principio, lo será también ZA / AL; y por lo tanto será dado el ^ AZD, que corresponde al arco del movimiento aparente sobre la Eclípticaeclíptica, y también lo será dado el ^ EAZ, por ej. desde el arco EZ del Epicicloepiciclo.

Tomemos nuevamente la figura anterior de la Excéntricaexcéntrica [ver Fig. 3.16], y cortar desde H, el Perigeoperigeo de la Excéntricaexcéntrica, [es decir] el arco HZ, que nuevamente tomaremostomamos como de 30º. Unir DZB y ZΘ, y eliminar la perpendicular DK desde D hasta ΘZ.

Arcoarco DK = 60º<br />

y Arcoarco KΘ = 120º (su suplemento).

DK = 60p donde el diámetro DΘ = 120p.<br />

y KZ = 57;50p por sustracción [de ΘK desde ΘZ].<br />

Y ya que DZ ^ 2² = DK ^ 2² + KZ ^ 2²,<br />

Por lo tanto donde la hipotenusa DZ = 120p, DK = 2;34p. <ref name="Referencia 053"></ref>.

enarco DK = 2;27º.<br />
En consecuencia ^ DZK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />

enpor lo tanto consecuencia ^ DZK = 1;14º (aproximadamente) donde 4 ángulos rectos = 360º.<br />

Estos [1;14º], son entonces, la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía.

Y dado que el ^ ZΘH fue tomado como de 30º,
por adición, el ^ BDG, por ej. el arco GB de la Eclípticaeclíptica, es igual a 31;14º.

Aquí también, enpor el mismo sentidocamino [como antes], [ver Fig. 3.17] prolongamos BD y eliminamos ΘL hacia él [(BD)].

Entonces, si, '''primero''', tomamos como dado el arco GB de la Eclípticaeclíptica, por ej. dado el ^ ΘDL, desde éste será dada la razónproporción DΘ / ΘL. Y ya que ΘD / ΘZ fue también determinadadada endesde el comienzo, será dada ZΘ / ΘL. Por lo tanto, tendremos como dados los ángulos

^ ΘZD, por ej. la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía

y el ^ ZΘD, por ej. el arco HZ de la Excéntricaexcéntrica.

O si, ('''segundo'''), tomamos como dada la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, por ej. dado el ^ ΘZD, entonces, recíprocamente, desde éste será dada [la razónproporción] ZΘ / ΘL. Y ya que ZΘ / ΘD fue también dada aldesde el comienzo, lo será DΘ / ΘL. Por lo tanto tendremos, como ángulos dados,

el ^ ΘDL, que corresponde al arco GB de la Eclípticaeclíptica

y el ^ ZΘH, por ej. el arco HZ de la Excéntricaexcéntrica.

Similarmente, ensobre la figura anterior de la [[Almagesto:_Sistema_Ptolemaico_o_Sistema_Geocéntrico|'''ExcéntricaConcéntrica''']] y del [[Almagesto:_Sistema_Ptolemaico_o_Sistema_Geocéntrico|'''Epiciclo''']] [ver Fig. 3.18], cortamos el arco ΘH desde el Perigeo, por la misma cantidad de 30º, [y] unir AH y DHB, y eliminamoseliminar la perpendicular HK desde H hasta AD.

Por lo tanto en el triángulo rectángulo HKA, [inscripto] en el círculo EZHΘ]

Arcoarco HK = 60º<br />

y Arcoarco AK = 120º (su suplementario).

HK = 60p. donde la hipotenusa AH = 120p.<br />

y AK = 103;55p. donde la hipotenusa AH = 120p.<br />

y ya que HK ^ 2² + KD ^ 2² = DH ^ 2²,<br />

Yy, en el círculo siendo DHK, el arco HK = 2;27º.<br />

enEn consecuencia ^ HDK = 2;27ºº donde 2 ángulos rectos = 360ºº<br />

enpor lo tanto consecuencia ^ HDK = 1;14º donde (aproximadamente) 4 ángulos rectos = 360º.

Entonces, aquíAquí también, entonces, este es el tamaño de la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, por ej. el arco AB.

Y ya que el ^ KAH fue tomado como de 30º, por adición, el ^ BHA es de 31;14º, [que] representa el movimiento aparente sobre la Eclípticaeclíptica [contado desde el Perigeoperigeo]. Estas cantidades están de acuerdo con todas aquellas halladas en la [Hipótesishipótesis] de la Excéntrica]excéntrica.

Aquí también, por el mismo camino [como el de antes], eliminamos la perpendicular AL hasta DB [ver Fig. 3.19].

Entonces si, '''primero''', tomamos como dado el arco de la Eclípticaeclíptica, por ej. dado el ^ AHL, desde éste será dada la razónproporción HA / AL. Y ya que HA / AD fue dada aldesde el principio, lo será DA / AL. Por consiguiente tendremos como ángulos dados los ángulos

el ^ ADB, por ej. el arco AB, representando la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía

y ^ ΘAH, por ej. el arco ΘH del Epicicloepiciclo.

O si, ('''segundo'''), tomamos como dado el arco AB, representando la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía, por ej. el ^ ADB, entonces, delpor el mismo modocamino pero en orden inverso, desde éste será dada la razónproporción DA / AL. Y ya que [la razónproporción] DA / AH esestá dada desde el principio, también será dada HA / AL.

Por lo tantoconsiguiente tendremos como dados los ángulos

el ^ AHL, por ej. el arco de la Eclípticaeclíptica

y el ^ ΘAH, por ej. el arco ΘH dedel la Eclípticaepiciclo.

Así, hemos demostrado lo que nos propusimos realizarhacer.

Con el fin de tener convenientemente dispuesta la cantidad de la corrección para cualquier posición dada, [queremos] establecer una tabla, subdividida dentro de secciones [apropiadas], para el cálculo de las posiciones aparentes de la Anomalíaanomalía. Los teoremas de arriba permitirán una amplia variedad [de éstas posiciones] en el formato de una tabla <ref name="Referencia 054"></ref>, aunque preferimos la forma dondeen el cual el argumento es el Movimientomovimiento Mediomedio y la función es la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía <ref name="Referencia 055"></ref>. EsteDado que este formato está muy bien de acuerdo con las teoríasactuales presentadasteorías, y brindaeste también brinda un simple pero muy práctico camino de cálculo para cualquier resultado deseado. Entonces, utilizando el primer conjunto de teoremas [por ej. el de la Hipótesishipótesis de la Excéntricaexcéntrica] que hemos utilizado en los ejemplos numéricos anteriores, calculamos geométricamente, por el camino descrito, para las subdivisiones individuales [del círculo], la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía correspondiente al arco del Movimientomovimiento Medio, para las subdivisiones individuales [del círculo]medio. En general, ambas [Hipótesis]tanto para el Sol y como para los otros cuerpos, dividimos los cuadrantes en 15 subdivisiones cerca del Apogeoapogeo <ref name="Referencia 056"></ref> en 15 subdivisiones (por lo tanto en esos cuadrantes el intervalo de tabulación será de 6º), y los cuadrantes cerca del Perigeoperigeo dentro de 30 subdivisiones (por ende en eseesas subdivisiones el intervalo de tabulación seráes de 3º). ElLa razonamientoproporción es que las diferencias entre las Ecuacionesecuaciones de las Anomalíasanomalías [sucesivas], para subdivisiones iguales [del argumento], son mayores cerca del Perigeoperigeo que cerca del Apogeoapogeo.

Estableceremos la tabla de la Anomalíaanomalía del Sol, entonces, en 45 líneas, como [lo hicimos] antes, y en 3 columnas. Las primeras dos columnas contendrán los números del Movimientomovimiento Mediomedio a través de los 360º: las primeras 15 líneas comprenderán los dos cuadrantes cerca del Apogeoapogeo, las 30 siguientes los dos cuadrantes cerca del Perigeoperigeo. La tercer columna contendrá los grados de la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía a ser sumada o restada, correspondientes al Movimientomovimiento Mediomedio apropiado. La tabla es la siguiente:

<ref name="Referencia 049">Leer <span style="font-family: Symbol"></span> en H240,16-17, conen el manuscrito '''D''' (cf. todotodos ellos manuscritomanuscritos griegogriegos en la tabla de contenidos, H190,9-10) en cambio de <span style="font-family: Symbol"></span> (“investigación de la anomalía para extensiones parciales”, que es la lectura en el manuscrito '''Ar''' en ambos lugares). EnSobre los capítulos [[Almagesto:_Libro_III_-_Capítulo_05|5]] y [[Almagesto:_Libro_III_-_Capítulo_05|6]] ver [[w:es:Otto_Neugebauer|HAMA 58-60]], [https[w://en.wikipedia.org/wiki/:Olaf_Pedersen |Pedersen] 149-51]].</ref>

<ref name="Referencia 050">[https[w://en.wikipedia.org/wiki/:Euclides |Euclides] ''Data 40'']]: ''si los ángulos de un triángulo son dados, sus lados están dados de la forma (por ej. la razónproporción de los lados es dada'', cf. DATA''Data 3'').</ref>

<ref name="Referencia 051">[[w:en:Euclides|Euclides ''Data 8'']]: aquellas magnitudes teniendo una razoónproporción dada para la misma magnitud, tienen una razónproporción dada la una para la otra. DQ / QZ está dada como la razónproporción de la Excentricidadexcentricidad.</ref>

<ref name="Referencia 052">[[w:en:Euclides|Euclides ''Data 43'';]]: si, en un triángulo rectángulo, los lados de uno de los ángulos agudos tienen una relaciónproporción dada, el triángulo se da en forma (cf. nota de referencia anteriormás arriba nro. 2).</ref>

<ref name="Referencia 053">Leer en el manuscrito '''Ar''', segmento <span style="font-family: Symbol"></span> segmento <span style="font-family: Symbol"></span> en cambio de segmento <span style="font-family: Symbol"></span> seg. <span style="font-family: Symbol"></span> seg. <span style="font-family: Symbol"></span> (2;34,36) en H247,6, en el manuscrito Ar. Cálculos precisos dan 2;35,34 (cf. leerlectura en el manuscrito ''' D^2²'''), pero aquíaunque Ptolomeo sólo da sus resultados en minutos, y 2;34 es el correcto, dado que Cuerda 2;27º = 2;33,55p ≈ 2;34p. El número 36 probablemente fue una corrección marginal delal número 34 (cf. leerlectura en el manuscrito '''D''' en H249,20), que fue más tarde erróneamente incorporado como un lugar extra. La misma corrección ha sido realizada en el manuscrito H 249H249,20 (ambas hechas por [https[w://en.wikipedia.org/wiki/:Karl_Manitius |Manitius]]).

<ref name="Referencia 054">TeóricamentePtolomeo loda quea quiere decir Ptolomeo esentender que uno teoricamente puede tomar como argumento tanto el Movimientomovimiento Mediomedio (seg. <span style="font-family: Symbol"></span>), la posición verdadera (<span style="font-family: Symbol"></span>), o la Ecuaciónecuación (<span style="font-family: Symbol"></span>).</ref>

<ref name="Referencia 055">Literalmente “que“el cual contiene la Ecuaciónecuación de la Anomalíaanomalía correspondiente a los arcos del Movimientomovimiento Medio”medio”.</ref>

<ref name="Referencia 056">Leer <span style="font-family: Symbol"></span> (conen todos los manuscritos) en cambio de <span style="font-family: Symbol"></span> (error de imprenta en el manuscrito de [[httpsw://en.wikipedia.org/wiki/:Johan_Ludvig_Heiberg_(historian) |Heiberg]]) en H251,24. Corregida por [https[w://en.wikipedia.org/wiki/:Karl_Manitius |Manitius]].</ref>