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Diferencia entre revisiones de «Almagesto: Libro I - Capítulo 13»

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<ref name="Referencia 076"></ref>
 
Nuestra próxima tarea es demostrar las longitudes de los arcos individuales cortados entre el [[w:es:Ecuador_celeste|'''Ecuador''']] y la [[w:es:Eclíptica|'''Eclíptica''']] a lo largo del gran círculo a través de los polos del Ecuador. De manera preliminar, comenzaremosestableceremos con teoremasalgunos breves y útiles teoremas que nos permitirán derivar muchas demostraciones involucrando '''teoremas sobre esféricas''' enpor elun sentido máscamino simple y en lo más metódico posible.
 
[Ver Fig. 1.8.] Sean dos líneas rectas, BE y GD, las cualesque son dibujadas para encontrarencontrarse con dos líneas rectas., AB y AG, se cortaráncortándose una con la otra en el punto Z.
 
[[File:Almagesto Libro I FIG 08.png|center|379px|Fig. 1.8]]
Línea 25:
</div>
 
[Demostración:] Sea EH dibujada desdea través de E y paralela a GD.
Luego, dado que GD y EH son paralelas,
 
<div class="prose">
Línea 37:
GD / EH = (GD / DZ) * (DZ / HE).<br />
en consecuencia GA / AE = (GD / DZ) * (DZ / HE).<br />
pero DZ / HE = ZB / BE (EH es paralela a ZD).<br />
en consecuencia '''GA / AE = (GD / DZ) * (ZB / BE)'''.
</div>
 
[13.1] Lo que se ha requerido para examinar.
 
Del mismo modo, en el ''dividendo'', probaremos que
 
<div class="prose">
Línea 49:
</div>
 
[Ver Fig. 1.9.] Dibujar una línea desdea través de A paralela a EB y prolongar GD cortándola en H.<br />Nuevamente, dado que AH es paralela a EZ,
Nuevamente, dado que AH es paralela a EZ,
 
<div class="prose">
GE / EA = GZ / ZH.
</div>
Pero, si tomamos en ZD [como auxiliar],
<div class="prose">
GZ / ZH = (GZ / ZD) * (DZ / ZH).
Línea 63 ⟶ 62:
<center>Fig. 1.9</center>
 
Pero DZ / ZH = DEDB / BA (BA y ZH SON dibujadas hasta encontrar las líneas paralelas AH y ZB).
 
<div class="prose">
enEn consecuencia GZ / ZH = (GZ / DZ) * (DB / BA).<br />
peroPero GZ / ZH = (GE / EA).<br />
enEn consecuencia '''GE / EA = (GZ / DZ) * (DB / BA)'''.
</div>
 
[13.2] Lo que se ha requerido para examinar.
 
Nuevamente [Fig. 1.10.] sobreen el círculo ABG, con centro D, tomar cualquiera de loscualesquiera tres puntos A, B óy G, desobre la circunferencia, proveyendoprovisto que cada uno de los arcos AB y BG seanson menores que un semicírculo (sea la misma condición a ser entendida y tomadacomprendida para aplicarla a todos los arcos subsecuentes que tomemos). Dibujemos AG y DEB.
 
Dibujemos AG y DEB.
Digo que
 
Línea 82 ⟶ 80:
</div>
 
[Demostración:] Eliminar las perpendiculares AZ y GH desde los puntos A y G hasta DB. EntoncesLuego, dado que AZ es paralela a GH, y se encuentran con la línea AEG,
 
<div class="prose">
AZ / GH = AE / EG.<br />
peroPero AZ / GH = Cuerda arco 2 * AB / Cuerda arco 2 * BG<br />
(para AZ = ½ Cuerda arco 2 * AB y GH = ½ Cuerda arco 2 * BG).<br />
</div>
 
Por lo tanto
en consecuencia
 
<div class="prose">
'''AE / EG = Cuerda arco 2 * AB / Cuerda arco 2 * BG'''.
</div>
 
Línea 101 ⟶ 99:
<center>Fig. 1.10</center>
 
Inmediatamente sigue que, si estános dadoson esdados sula totalidad eldel arco AG y la relaciónproporción (Cuerda arco 2 * AB / Cuerda arco 2 * BG), serán dados ambos arcos, el arco AB y el arco BG.
 
Repitiendo la misma figura [ver Fig. 1.11], unir AD, y eliminar la perpendicular DZ desde D ahasta AEG.
 
Es obvio que, si el arco AG es dado, el ^ ADZ, que subtiende la mitad del arco AG, será dado, y por lo tanto íntegramente el triángulo ADZ <ref name="Referencia 078"></ref>. Ahora, ya que la cuerda AG está dada en su totalidad, y (AG / EG) está dadodada (siendo igual a (Cuerda arco 2 * AB / Cuerda arco 2 * BG)), AE será dado <ref name="Referencia 079"></ref>, y entoncestambién lo será ZE, por sustracción [ de AZ desde AE].
 
[[File:Almagesto Libro I FIG 11.png|center|379px|Fig. 1.11]]
<center>Fig. 1.11</center>
 
'''Por lo tanto, dado que DZ también está dado, en el triángulo rectángulo EDZ, el ^ EDZ será dado, y por lo tanto la totalidad del ángulo ADB. Por lo tanto el arco AB será dado y (por sustracción) el arco BG'''.
 
Lo que se ha requerido para examinar.
 
Nuevamente [ver Fig. 1.12.] en el círculo ABG con centro en D, tomar tres puntos sobre la circunferencia, A, B y G <ref name="Referencia 080"></ref>. Unir DA y GB prolongándolas hasta encontrarse en E.
 
[[File:Almagesto Libro I FIG 12.png|center|379px|Fig. 1.12]]
Línea 125 ⟶ 123:
</div>
 
Con un argumento similar al teorema previo, si eliminamos las perpendiculares BZ y GH desde B y G hasta DA, siendodado que [BZ y GH] son paralelas,
 
<div class="prose">
Línea 131 ⟶ 129:
</div>
 
enEn consecuencia
 
<div class="prose">
'''Cuerda arco 2 * GA / Cuerda arco 2 * AB = GE / EB'''.
</div>
 
[13.4] Lo que se ha requerido para examinar.
 
En ésteeste caso, inmediatamentetambién siguese también,deduce inmediatamente que si justamentese nos tenemosda dadosolo el arco GB y la razónproporción (Cuerda arco 2 * GA / Cuerda arco 2 * AB), el arco AB también será dado.
Para ello, si repetimos la misma figura [ver Fig. 1.13], y unimos DB y eliminamos la perpendicular DZ hasta BG, entoncesluego el ^ BDZ, que subtiende medio arco BG, será dado. Por lo tanto el ángulotriángulo rectángulo BDZ será dado en su totalidad <ref name="Referencia 081"></ref> BDZ estará dado. Ahora, dado que la razónproporción (GE / EB) y la línea GB son dadas, EB será dada, y por lo tanto, por adición, la línea EBZ. Entonces, dado que DZ es dada, en el triángulo rectángulo EDZ, el ^ EDZ [también] es dado, y por sustracción es[del ^ BDZ dado] el ^ EDB [desde el ^ BDZes dado]. Por lo tanto el arco AB será dado.
 
[[File:Almagesto Libro I FIG 13.png|center|379px|Fig. 1.13]]
<center>Fig. 1.13</center>
 
Habiendo establecido estos primeros teoremas preliminares, dibujemos [Fig. 1.14] <ref name="Referencia 082"></ref> los siguientes arcos de grandes círculos deen una esfera: BE y GD son dibujados para intersectarseencontrar ena AB y a AG, y cortarcortarse auno cadacon unoel otro en Z. Sea cada uno de ellos menor que un semicírculo (y que la misma condición sea entendidacomprendida para ser aplicadaaplicarla en todas las figuras).
[[File:Almagesto Libro I FIG 14.png|center|422px|Fig. 1.14]]
Línea 156 ⟶ 154:
{| class="wikitable"
|- bgcolor = "#FEF1CA"
|align="center" | '''Cuerda arco 2 * GE / Cuerda arco 2 * EA = (Cuerda arco 2 * GZ / Cuerda arco 2 * ZD) * (Cuerda arco 2 * DB / Cuerda arco 2 * BA)'''.
|-
|}
</center>
 
[Demostración:] Tomemos el centro de la esfera, H, y dibujemos desde él las líneas HB, HZ, HE, hasta las intersecciones de los círculos, B, Z y E. Unir AD y prolongarla hasta encontrarse con HB, también prolongada, en Θ. De igual manera, unir DG con AG, y sean ellos HZ y HE cortados en los puntos <ref name="Referencia 083"></ref> K y L.
 
Luego, Θ, K y L se ubican en una línea recta, dado que todos ellos se sitúan simultáneamente en dos planos, el plano del triángulo AGD, y el plano del círculo BZE.
Línea 168 ⟶ 166:
 
<div class="prose">
en consecuencia GL / LA = (GK / KD) * (DΘ / ΘA). [desdesegún 13.2]<br />
Pero GL / LA = Cuerda arco 2 * GE / Cuerda arco 2 EA. [desdesegún 13.3]<br />
y GK / KD = Cuerda arco 2 * GZ / Cuerda arco 2 * ZD. [desdesegún 13.3]<br />
y DΘ / ΘA = Cuerda arco 2 * DB / Cuerda arco 2 * BA. [desdesegún 13.4].<br />
</div>
 
Por lo tanto
en consecuencia
 
<center>
{| class="wikitable"
|- bgcolor = "#FEF1CA"
|align="center" | '''Cuerda arco 2 * GE / Cuerda arco 2 * EA = (Cuerda arco 2 * GZ / Cuerda arco 2 * ZD) * (Cuerda arco 2 * DB / Cuerda arco 2 * BA)'''. [13.5]
|-
|}
Línea 189 ⟶ 187:
{| class="wikitable"
|- bgcolor = "#FEF1CA"
|align="center" | '''Cuerda arco 2 * GA / Cuerda arco 2 * EA = (Cuerda arco 2 * GD / Cuerda arco 2 * DZ) * (Cuerda arco 2 * ZB / Cuerda arco 2 * BE)'''. <ref name="Referencia 084"></ref> [13.6]
|-
|}
Línea 242 ⟶ 240:
=='''Notas de referencia'''==
{{listaref|refs=
<ref name="Referencia 076">Sobre la trigonometría esférica explicada en este capítulo ver ''HAMA'' 26-30, [https[w://en.wikipedia.org/wiki/:Olaf_Pedersen |Pedersen]] 72-8.</ref>
<ref name="Referencia 077">Literalmente, (aquí y en general), este tipo de razónproporción es expresada como “la razón deproporción GA / AE es combinada desde (<span style="font-family: Symbol"></span>) la relaciónproporción GD / DZ y ladesde relaciónla deproporción ZB / BE”.</ref>
<ref name="Referencia 078">Uno ya conoce el ^ AZD como un ángulo recto, y AD, un radio.</ref>
<ref name="Referencia 079">[[w:es:Euclides|Euclides]] ''“Data” 7'' (si una magnitud dada está dividida en una proporción dada, cada parte estáes dada).</ref>
<ref name="Referencia 080">Omitiendo (en el manuscrito '''D''' y '''Is'''), en H72, 13-15, <span style="font-family: Symbol"></span> AB, A<span style="font-family: Symbol"></span>, que es una repetición superflua de H70, 21-5.</ref>
<ref name="Referencia 081">Aquí (en H74, 3) y en otras partes (por ej. H74, 7), el manuscrito '''D''' tiene la forma completa <span style="font-family: Symbol"></span> para la <span style="font-family: Symbol"></span> de [[w:es:Johan_Ludvig_Heiberg|Heiberg]]. Esto quizás sea ciertocorrecto, peroaunque no lo he registrado como una corrección, siguiendo el principio enunciado en la [[Almagesto:_Introducción|Introducción]].</ref>
<ref name="Referencia 082">Ver ''HAMA'' Fig. 17 p. 1213 para una adaptación de ésta figura útil en la visualización de varios planos involucrados.</ref>
<ref name="Referencia 083">Leer <span style="font-family: Symbol"> ... </span> (con el manuscrito '''D''') en H75,2 en cambio de <span style="font-family: Symbol"> ... </span>. Corregida por [https[w://en.wikipedia.org/wiki/:Karl_Manitius| Manitius]].</ref>
<ref name="Referencia 084">El teorema uniendo seis arcos de un gran círculo sobre la superficie de una esfera en la ''Configuración de [[w:es:Menelao_de_Alejandría|Menelaus''Configuración de Menelao'']]'' (ver la [[Almagesto:_Introducción|Introducción]]), en la que son ejemplificados los enunciados 13.5 y 13.6, es debido a MenelausMenelao, quien Ptolomeo menciona en el Almagesto sólo como un observador (ver índice s.v.). Éste aparece (en ambas formas) como Prop. III 1 en su ''“Esféricas”“Esférica”'' (ed. Krause pp, 194-7). Éstas dos formas han sido etiquetadas por [[w:es:Otto_Neugebauer|Neugebauer]] (''HAMA'' 28) como el Teorema I (= 13.6), donde cuatro partes internasinteriores de la ''Configuración de Menelaus'' están relacionadas con las dos partes exteriores, y el Teorema II (= 13.5), donde cuatro partes externasexteriores están relacionadas con las dos partes interiores. Usaremos esta terminología del siguiente modo (abreviadas como '''M.T.I.''' y '''M.T.II.''').</ref>
}}
</div>
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